Abstract beta-expansions and ultimately periodic representations

beta-expansions and ultimately periodic representations Michel Rigo, Wolfgang Steiner To cite this version: Michel Rigo, Wolfgang Steiner. Abstract beta-expansions and ultimately periodic representations. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Société Arithmétique de Bordeaux, 2005, 17, pp.283-299. HAL Id: hal-00023235 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00023235 Submitted on 21 Apr 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. cc sd -0 00 23 23 5, v er si on 1 2 1 A pr 2 00 6 Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 00 (XXXX), 000–000 Abstract β-expansions and ultimately periodic representationsβ-expansions and ultimately periodic representations par Michel Rigo et Wolfgang Steiner Résumé. Pour les systèmes de numération abstraits construits sur des langages réguliers exponentiels (comme par exemple, ceux provenant des substitutions), nous montrons que l’ensemble des nombres réels possédant une représentation ultimement périodique est Q(β) lorsque la valeur propre dominante β > 1 de l’automate acceptant le langage est un nombre de Pisot. De plus, si β n’est ni un nombre de Pisot, ni un nombre de Salem, alors il existe des points de Q(β) n’ayant aucune représentation ultimement périodique. Abstract. For abstract numeration systems built on exponential regular languages (including those coming from substitutions), we show that the set of real numbers having an ultimately periodic representation is Q(β) if the dominating eigenvalue β > 1 of the automaton accepting the language is a Pisot number. Moreover, if β is neither a Pisot nor a Salem number, then there exist points in Q(β) which do not have any ultimately periodic representation. For abstract numeration systems built on exponential regular languages (including those coming from substitutions), we show that the set of real numbers having an ultimately periodic representation is Q(β) if the dominating eigenvalue β > 1 of the automaton accepting the language is a Pisot number. Moreover, if β is neither a Pisot nor a Salem number, then there exist points in Q(β) which do not have any ultimately periodic representation.